引言

你是否曾经想过，如何以最少的操作次数将所有的球从一个盒子移动到另一个盒子？这个问题不仅考验你的逻辑思维，还考验你对算法的理解和应用。今天，我们将深入探讨这个问题的奥秘，并通过生动的例子和详细的解析，带你领略算法的魅力。

问题描述

你有一个由“0”和“1”组成的二进制字符串box，代表n个盒子。每个盒子可以看作是一个位置，而“1”则代表一个球。你的目标是通过最少的操作次数，将所有的球移动到每个盒子里。一次操作中，你可以选择任意一个相邻的盒子，将一个球从一个盒子移动到相邻的盒子。

示例解析

让我们通过两个示例来详细解析这个问题。

示例1：输入：box = "110"

• 第一个盒子：只有一个球，直接移动即可。
• 第二个盒子：有两个球，需要先移动一个球到相邻盒子，再移动另一个球。
• 第三个盒子：有三个球，需要先移动两个球到相邻盒子，再移动最后一个球。

操作次数分别为：1、1、3。

示例2：输入：box = "001011"

• 第一个盒子：没有球，只需将所有球移动过来。
• 第二个盒子：有一个球，直接移动即可。
• 第三个盒子：有两个球，需要先移动一个球到相邻盒子，再移动另一个球。
• 第四个盒子：有三个球，需要先移动两个球到相邻盒子，再移动最后一个球。
• 第五个盒子：有四个球，需要先移动三个球到相邻盒子，再移动最后一个球。
• 第六个盒子：有五个球，需要先移动四个球到相邻盒子，再移动最后一个球。

操作次数分别为：11、8、5、4、3、4。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以采用前缀和的方法。这种方法的核心思想是通过计算从左到右和从右到左的移动次数，来避免显式模拟每个操作。

步骤解析：

1. 初始化：创建一个数组answer，用于存储每个盒子的最小操作次数。
2. 从左到右遍历：计算每个盒子左侧的球数，并累加移动次数。
3. 从右到左遍历：计算每个盒子右侧的球数，并累加移动次数。
4. 合并结果：将左右两侧的移动次数相加，得到每个盒子的最小操作次数。

代码实现

下面是PHP代码的实现：

function minOperations($boxes) {
    $n = strlen($boxes);
    $answer = array_fill(0, $n, 0);

    // 从左到右遍历
    $left = 0;
    for ($right = 0; $right < $n; $right++) {
        if ($boxes[$right] == '1') {
            $left++;
        }
        $answer[$right] += $left;
    }

    // 从右到左遍历
    $right = $n - 1;
    for ($left = $n - 1; $left >= 0; $left--) {
        if ($boxes[$left] == '1') {
            $right--;
        }
        $answer[$left] += $right;
    }

    return $answer;
}

// 示例使用
$boxes = "110";
print_r(minOperations($boxes)); // 输出: [1,1,3]

$boxes = "001011";
print_r(minOperations($boxes)); // 输出: [11,8,5,4,3,4]

结语

通过上述解析和代码实现，我们可以清晰地看到如何将所有球移动到每个盒子所需的最少操作次数。这种方法不仅高效，而且避免了显式模拟每个操作的复杂性。希望这篇文章能帮助你更好地理解这个问题，并激发你对算法的兴趣。如果你有任何疑问或想要探讨更多相关内容，请随时关注我们！