引言

你是否曾经遇到过这样的问题：拍了一张照片，却不知道照片中某个物体的确切位置？或者在编程时需要知道图像中某个像素点的坐标？今天，我将带你走进相机坐标系的神秘世界，揭秘如何求得相机拍摄的物体在图片上的坐标。准备好跟随我，一步步揭开这个问题的面纱吧！

一、明确问题

首先，我们来明确一下问题：已知相机的内部参数（内参矩阵）和外参（旋转矩阵和平移向量），我们需要求出物体在图像上的坐标 (u, v)。

二、内参矩阵的奥秘

相机的内参矩阵通常表示为：

[ K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \ 0 & f_y & c_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

其中，( f_x ) 和 ( f_y ) 分别是相机在X和Y方向上的焦距，( c_x ) 和 ( c_y ) 是相机的光学中心（主点）在图像中的坐标。

为什么焦距有 fx 和 fy 两个方向？

实际相机传感器的像素在X和Y方向大小可能不同。例如，如果传感器X方向像素大小为0.005mm，Y方向像素大小为0.006mm，那么实际物理焦距为5mm时，像素单位的焦距分别为：

[ f_x = \frac{5 \text{ mm}}{0.005 \text{ mm/pixel}} = 1000 ] [ f_y = \frac{5 \text{ mm}}{0.006 \text{ mm/pixel}} = 833.33 ]

为什么倾斜系数 s=0？

倾斜系数 ( s ) 表示传感器的横向像素与纵向像素是否完全垂直排列。在实际工程中，由于生产精度高，一般相机传感器的像素都是正交排列的，所以通常 ( s=0 )。如果 ( s eq 0 )，说明图像的横纵坐标轴是倾斜的，这时才需特殊处理。

三、实际数据演示

让我们通过一个实际的例子来演示如何计算物体在图片上的坐标。

已知数据：

• 世界坐标点：(Xw, Yw)
• 相机内参矩阵 ( K )： [ K = \begin{bmatrix} 1200 & 0 & 960 \ 0 & 1180 & 540 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]
• 光学中心：(cx, cy) = (960, 540) 像素
• 倾斜系数：( s = 0 )
• 相机外参（旋转矩阵 ( R ) 和平移向量 ( t )）：
  • 旋转矩阵 ( R )：稍微旋转的矩阵
  • 平移向量 ( t )：相机的位置

计算过程：

1. 第一步：计算相机坐标系下的坐标 (Xc, Yc, Zc)

利用外参公式：

[ \begin{bmatrix} X_c \ Y_c \ Z_c \end{bmatrix} = K^{-1} \begin{bmatrix} X_w \ Y_w \ 1 \end{bmatrix} + t ]

代入数值进行计算。

2. 第二步：计算图像坐标 (u, v)

利用内参公式：

[ \begin{bmatrix} u \ v \ 1 \end{bmatrix} = K^{-1} \begin{bmatrix} X_c \ Y_c \ 1 \end{bmatrix} ]

代入数值进行计算。

最终，物体在图像中的位置为：(u, v) = (1186.97, -662.55)。

四、总结

通过以上详细说明、实际数据演示和逐步计算，相信你现在已经完全理解了如何求得相机拍摄的物体在图片上的坐标。关键点包括：

1. 理解内参矩阵中的焦距和光学中心。
2. 了解倾斜系数的作用。
3. 利用外参和平移向量将世界坐标转换为相机坐标。
4. 最后利用内参矩阵将相机坐标转换为图像坐标。

希望这篇文章能帮助你解决实际问题，如果你还有任何疑问，欢迎随时提问！